Božična drevesa in luči • Konstantin Knop, Evgeny Epifanov • Glasbene naloge na "Elementih" • Matematika

Božična drevesa in luči

Naloga

Na velikem, zelo velikem trgu na novoletnem času je bilo nameščenih veliko, veliko božičnih dreves in veliko, veliko luči, in več je bilo božičnih dreves od luči. Lahko Izkazalo se je, da je na razdalji enega metra od vsakega drevesa točno 8 luči? (Božična drevesa in luči se štejejo za pike, območje je ravno.)


Nasvet 1

Da, lahko je.


Nasvet 2

Najprej poskusite najti rešitev za enostavnejši primer: ko na razdalji 1 m od vsakega drevesa obstajata 2 luči in drevo več kot luč.


Rešitev

Najprej bomo razpravljali o preprostejšem primeru od vrha 2. Postavite luči v kvadratno rešetko s stranico 2 m in božična drevesca sredi vseh segmentov med dvema sosednjima svetilkama. Če je na eni strani N potem bodo lučke skupaj N2. Jolok z 2N(N – 1), ker je polovica na vertikalnih segmentih, polovica pa na vodoravnici. Že pri N = 3 drevesa bo več kot luč. Slika 1 prikazuje stanje, ko N = 5: na območju 25 luči in 40 božičnih dreves.

Sl. 1.

Pri reševanju glavne naloge bomo ohranili lokacijo svetilk in skoraj vseh božičnih dreves (tistih, ki ne izpolnjujejo pogoja, jih preprosto odstranite s trga). In kaj se lahko spremeni? Paradoksalno je, da je najbolje spremeniti mersko enoto, to je meter. Kmalu bo jasno, zakaj.

Recimo, da obstaja veliko območje, na katerem drevesa in luči stojijo na enak način kot v primeru, razstavljenem zgoraj. Prvič, odgovorimo na to vprašanje: ali obstaja krog s središčem v določenem božičnem drevesu, na katerem je točno 8 luči? Predpostavljamo, da je to drevo v izvoru koordinat in da koordinatne osi potekajo vzporedno s segmenti, ki povezujejo najbližje luči (pustimo, da os osi gre skozi segment, na katerem stoji naše drevo). Potem bodo luči imele koordinate obrazca (2k + 1, 2l) kjer k in l – cela števila (enota merila – meter, ki se še nismo spremenili). V skladu s Pythagorean izrek, kvadrat razdalje od svetilke z koordinatami (2k + 1, 2l) na drevo je (2k + 1)2 + (2l)2. Takšni zneski so lahko enaki drugemu za različne pare celih števil (k, l). Na primer, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. To pomeni, da so luči v točkah (7, 4) in (1, 8) na enakih razdaljah od drevesa. Toda na isti oddaljenosti od nje so tudi luči, ki se nahajajo v točkah (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), vse takšne svetilke pa bodo natanko 8 (na sliki 2 so prikazane v modri barvi, zaradi jasnosti pa se skozi krog potegne krog). Na splošno nismo dokazali, da jih ne bo več kot osem, vendar bo to preprosto vajo prepuščeno bralcu za neodvisno odločitev.

Sl. 2

Zdaj smo pripravljeni na obljubljeno "spremembo števca." Zdaj pustite nov meter bo polmer tega kroga, na katerem smo našli 8 luči. Nato bo za vsa božična drevesa, ki so dovolj "globoka v kvadratu", izpolnjen pogoj o 8 luči. Ostanek je izračunati, kaj je "globoko v notranjosti". Drevo mora biti takšno, da na desno in levo od nje obstaja 7 "starih metrov" in nad-spodaj na 8 "starih metrov" luči. Koliko takšnih dreves je na vodoravnih segmentih, če je število svetilk vzdolž kvadrata N? Odstraniti moramo drevesa zgornjega in spodnjega štirih vrst in dreves treh levo in treh desnih srednjih segmentov. To je v vsaki horizontalni vrsti N – 7 božičnih dreves (in ne N – 1, kot je bilo prej), zdaj pa obstajajo vrste takih N – 8, ne N. Enako velja za drevesa na navpičnih vrstah, zato je skupno število dreves 2 (N − 7)(N – 8). Neenakost 2 (N − 7)(N − 8)>N2 izvedeno na N ≥ 26 (slika 3). S takim N pogoj naloge bo izpolnjen.

Sl. 3


Poročilo

Upoštevajte, da smo v naši rešitvi uporabljali ideje, ki so bile blizu, ki smo jih upoštevali v krogu naloga na grbiranem papirju. Natančno opisuje, kako poiskati črtasto ravnino kroga, ki poteka skozi določeno število mrežnih vozlišč.Opozarjamo tudi, da se lahko naša naloga reši na drug način: glej rešitev problema M1129 "Questbooka" "Questa".

Na splošno so problemi konfiguracij končnega števila točk na ravnini, ki bi zadovoljili določene lastnosti, veliko. Zdi se, da bi moralo biti vse to "otroška" vprašanja, kot je naša, vendar se mnogi takšni problemi izkažejo za zelo zapletene in se ukvarjajo s strokovnimi matematiki. Področje matematike, posvečeno podobnim problemom – kombinacijska geometrija – je bilo razvito v celotnem XX. Stoletju, Paul Erdos pa je veliko prispeval k temu procesu.

Številni problemi kombinatorične geometrije se ujemajo s preprostostjo njihovih formulacij. Na primer: da bi dokazali, da če vse točke v setu ležijo na eni črti, potem obstaja črta, ki poteka skozi točno dve od teh točk. To je izrek izreka Sylvester-Gallai, ki je bila že več časa rešena. Toda, kot ustreza dobremu problemu, sledijo še druga vprašanja: ker ta izreka pravi, da mora biti vsaj ena ravna črta, ki poteka skozi točno dve točki, koliko takšnih ravnih črt je lahko? Pred nekaj leti je članek, ki je bil posvečen temu vprašanju, objavil Terence Tao, kar še enkrat kaže, da je od preprostih vprašanj do najnovejših znanstvenih dogajanj pogosto precej kratek pot.

Problem avtor in rešitve: Konstantin Knop
Avtor prispevka: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
Dodaj odgovor

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: