Padec orela ali repa je mogoče natančno napovedati • Yuri Erin • Znanstvene novice o "Elementih" • Fizika, matematika

Padec oreha ali repa je mogoče natančno napovedati

Sl. 1. Tridimenzionalni model neidealnega kovanca. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Orel ali rep? Pod določenimi pogoji je mogoče natančno predvideti rezultat vretenja kovanca. Ti posebni pogoji, kot so nedavno pokazali poljski teoretični fiziki, so zelo natančni pri določanju začetnega položaja in hitrosti kovanega pepela.

Spuščanje oreha ali repa, ko berejo kovanec, je klasičen primer naključnega postopka z enakovrednim izidom. Sorazmerno nedavni prispevek so se pojavili poljski fiziki, ki so izvedli teoretično študijo tega pojava in zaključili, da je mogoče načeloma natančno napovedati rezultat pada kovanca.

Nič izjemnega v načinu študije tega problema s strani fizikov je bilo izumljeno. Najprej so v svojem članku predstavili kovancev v obliki cilindra polmera r in višina (debelina kovanca) h (glej sliko 1)

Nato so raziskovalci govorili o kovancu kot trdnem telesu, katerega središče mase lahko sovpada z geometrijskim središčem (na sliki 1 je treba kombinirati točke B in C – 3D idealen kovanec) ali, bližje realnosti, koordinate geometrijske središče in središče mase sta drugačna (3D ne-idealni kovanec – glej sliko 1).

Za popolno analizo avtorji menijo, da kovanec ne le kot 3D model, temveč ga tudi poenostavimo z dvodimenzionalno (2D) različico, kar pomeni, da se lahko debelina kovanca zanemarja. h = 0. Zakaj je to mogoče, bomo razpravljali v nadaljevanju.

Padec kovanca in njeni kasnejši trki s površino so bili opisani z uporabo parametrov Rodrigues-Hamilton. Ta metoda opisovanja trdnega telesa temelji na uporabi kvateronske naprave (v angleški jezikovni literaturi se parametri Rodrigue-Hamilton imenujejo parametri Eulerja, ne smejo jih zamenjati z drugo metodo opisa, Eulerovi koti, Eulerovi koti). Prednost kvateronske metode je, da se izogne ​​singularnosti v procesu reševanja enačb gibanja (lahko preberete o uporabi kvaternionov, ki opisujejo kinematiko in dinamiko trdnega telesa tukaj, PDF, 1 Mb).

Znanstveniki so preučevali padec kovanca v dostojanstvo enega zlota, katerega masa je bila 2 g, polmer 1,25 cm in debelina 0,2 cm, pri izračunih pa so izhajali iz teh parametrov. Predpostavljalo se je, da se lahko središče mase kovanice premakne na neko razdaljo (3D-model neidealnega kovanca) ali pa se ne sme premikati (3D-model idealnega kovanca).Podobne možnosti smo upoštevali pri modelih 2D z sovpadajočim in ne sovpadajočim geometrijskim središčem in središčem mase.

Sl. 2 Vektor hitrosti dotikaA in njegove skalarne komponente takoj po trku s površino. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Zato naj kovanec pade z višine z0 (z drugimi besedami, začetni položaj središča mase (x0, y0, z0)), pred začetkom gibanja, je usmerjena v vesolje pod koti (ψ0, θ0, φ0), začetno hitrost središča mase predmetnega objekta (ν0x, ν0y, ν0z) in začetno kotno hitrostjo kovanca (ωξ0, ωζ0, ωη0). Treba je omeniti, da proces trkovanja kovanca s površino ni popoln (to je, ni absolutno elastičen niti absolutno neelastičen). Obstaja stopnja izterjave χ <1, ki je enako kjer νAz in ν\’Az – projekcije na osi z točke hitrosti A tik pred in po trku s površino (glej sliko 2).

Upošteva se tudi odpornost zraka med padcem in rotacijo kovanca. Za to je bil izveden poseben poskus za določitev normalne vrednosti λn in tangencialno λτ (kovanec se vrti, ko pada) koeficienti zračnega upora, ko pade kovanec. Te vrednosti so se izkazale za 0,8 oziroma 0,2.Rezultat numerične simulacije (reševanje enačb gibanja) padca kovanca je prikazan na sl. 3

Sl. 3 Rezultat numerične simulacije padca kovanca: a) 3D imperfect kovanec b) 3d popoln kovanec c) 2D nepopoln kovanec d) 2D popoln kovanec. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Po tem so avtorji sledili odvisnosti koordinat z (sedanjo višino kovanca) na primer v primeru nekoliko spremenjene začetne višine padca: z0 = 0,40001 m (slika 4a), z0 = 0,40002 m (slika 4b), z0 = 0,40003 m (slika 4c), z0 = 0,40004 m (slika 4d), z0 = 0,40005 m (slika 4e) in z0 = 0,40006 m (slika 4f). Preostali začetni pogoji so bili naslednji: x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s.

Sl. 4 Rezultati metanja kovanca z višine a) z0 = 0,40001 m, b) z0 = 0,40002 m, c) z0 = 0,40003 m, d) z0 = 0,40004 m, e) z0 = 0,40005 m in f) z0 = 0,40006 m Za vse primere x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s χ = 0,8. Sl. iz obravnavanega članka. Ravnina je vzporedna z osjot, ustreza koordinatam središča mase kovanca, ko je rob na površini. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Podrobno obnašanje kovanca, ko se trka s površino v območju 1-1,5 sekunde gibanja, je prikazano na sl. 5

Sl. 5 Podrobni grafi prikazani na sl. 3, v časovnem intervalu od 1 do 1,5 sekunde. a) z0 = 0,40001 m, b) z0 = 0,40002 m, c) z0 = 0,40003 m, d) z0 = 0,40004 m, e) z0 = 0,40005 m in f) z0 = 0,40006 m Za vse primere x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 rad / s, χ = 0,8. Sl. iz obravnavanega članka. Ravnina je vzporedna z osjot, ustreza koordinatam središča mase kovanca, ko je rob na površini. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Od tu dobimo zaporedje, ki kaže, kako se stran kovanca, ki pada z določene višine, spremeni glede na opazovalca. z0, pri vsakem udarcu s površino:

H Hhh Hhh Hhh T T T HH za z0 = 0,40001

H Hhh HH TT Hhh T T T za z0 = 0,40002

H Hhh Hhh HH H T T T T T za z0 = 0,40003

H Hhh TTT TTT T H H H H H za z0 = 0,40004

H Hhh Hhh TTT Hhh H T TT za z0 = 0,40005

H Hhh Hhhh TT T Hhhhh TT za z0 = 0,40006.

Tukaj H označuje orel (glavo), T – repi (rep) in krog "ločuje" vsak udarec kovanca s površino.

Zanimivo je, da so, kot so pokazali avtorji, obstajala dva mehanizma za "preklop" strani kovanca od orla do repa in obratno (slika 6). Če je kotni moment kovanca manjši, se spreminjanje strani kovanca zgodi kot posledica zelo kratkih, eksponencialnih ničelnih utripov trčenj ("ratt") (slika 6a; te "rattles" so odgovorne za zaporedje identičnih H ali T – glej zgoraj); drugače, ko je kotni moment kovanca dovolj velik glede na prvi scenarij obnašanja,"Preklapljanje" med stranicami kovanca poteka nad površino (slika 6b).

Sl. 6 Dve vrsti trkov kovanca, ki povzročata spremembo strani kovanca: a) zaporedje "rattlinga" kovanca z majhnim kotnim momentom, b) trčenje s površino kovanca z velikim kotnim momentom. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Na splošno je težko ugotoviti, da majhna sprememba enega od začetnih pogojev (v tem primeru višina padca) povzroči pomembno razliko v trajektoriji kovanca in s tem tudi spremembo končnega rezultata padca. To je še posebej jasno vidno na primeru poti poti središča mase kovanca (slika 7).

Sl. 7 Trajektorije središča mase kovanca. Začetni pogoji so enaki (glej sliki 3 in 4). Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Če povzamemo vse rezultate, raziskovalci pripravijo lokalne sklepe o gibanju kovanca:

1) če je razdalja med geometrijskim središčem in središčem mase kovanca zelo majhna, potem je mogoče premisliti o dvodimenzionalnem modelu idealnega kovanca, ne da bi pri tem izgubil natančnost (to je, da ignorira njegovo debelino);

2), ko je višina padca kovanca majhna, na primer, kot v primerih zgoraj opisane numerične simulacije,odpornost proti zraku ima zelo šibek učinek na rezultat padavin, zato je ta upor mogoče zanemariti.

Pravzaprav bo po vseh teh izračunih, simulacijah in slikah bralec verjetno postavil vprašanje: zakaj je izguba orela ali repa imenovana naključen proces?

Odgovor je v analizi faze »portretov« gibanja kovanca. Enačbe, s katerimi avtorji študije delujejo, določajo časovne odvisnosti šestih koordinat (tri Cartesian + tri kotne). Če popravimo vse začetne pogoje, razen, na primer, z0 in ωξ, – in prikazujejo fazni prostor (grobo rečeno, niz stanja) kovanca za drugo število trkov, potem si lahko ogledate naslednjo sliko, ki jo predstavlja niz grafov na sliki. 8

Sl. 8 Faza "portreti" gibanja 2D idealnega kovanca, ki prikazuje, za kateri dva začetna parametra, z drugimi štirimi fiksnimi, pade orel (črna območja), in za katere so repi (bele površine) po ntrčenje s površino. (a, e) n = 0, (b, f) n = 2, (c, g) n = 5, (d, h) n = 9. (a-d) – upošteva se zračna upornost (e-h) – zračna upornost ni bila upoštevana. Sl. iz zadevnega členaPoročila o fiziki

Tukaj bela območja označujejo niz začetnih pogojev, ki so potrebni za padec repov, črna območja za izgubo orla. Več kovancev se trka s površino, manjše so velikosti regij, kar pomeni nainterval začetnih pogojev, ki ustrezajo nedvoumnemu rezultatu – orel ali rep. Upoštevajte, da je to samo dvodimenzionalni fazni prostor, to pomeni, da se spremenita samo dva začetna stanja. Seveda je težko prikazati šestdimenzionalni prostor (samo 6 začetnih pogojev), vendar je ta primer dovolj, da bi razumeli, kako visoka je natančnost določanja začetnih pogojev – najmanjša sprememba lahko močno vpliva na končni rezultat metanja. Fiziki v takšnih primerih pravijo, da je fazni prostor kovanca čuden atraktor (najbolj znani primer čudnega atraktorja je Lorentz atraktor).

Tako, če z začetno natančnostjo določimo začetne pogoje ε, se lahko pričakuje rezultat padca kovanca. Ostanki šele ugotoviti, kaj je ta "primerna natančnost".Poljski znanstveniki so ugotovili, da bo zaporedje kovanega kovanca naključno, če bo razmerje ε Wkjer W – širino območja določenega kovanega dinamičnega stanja. Kot je razvidno iz sl. 8, razmerje ε W Posebno bo dobro opravljeno po drugem trku kovanca s površino, fazni prostor kovanca pa je podoben fraktalu, zato je smiselno celo govoriti o procesu "fractalizacije" faznega prostora, ko se kovanca treni s površino.

Glavni rezultat študije je naslednji. Čeprav je razlika v mejnih pogojih med padcem oreha ali repa "gladka", je v praksi ta razlika tako majhna, da jo je zelo težko uresničiti – najmanjša netočnost pri določanju začetnih pogojev bo privedla do negotovosti zaradi napovedovanja orelov ali repov (še posebej, če trčenja kovanca s površino, večjo od 2).

Vir: J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski, T. Kapitaniak. Dinamika prekletstva kovancev je predvidljiva // Poročila o fiziki (7. september 2008); doi: 10.1016 / j.physrep.2008.08.003.

Yuri Yerin


Like this post? Please share to your friends:
Dodaj odgovor

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: